Al realizar los estudios se ha
aplicado la teoría del Análisis Limite de Estructuras de fábrica, tal y como la
ha desarrollado fundamentalmente Heyman en los últimos años. En este apartado
se resumirán los principios e ideas fundamentales.
Se considera la estructura de fábrica formada por un material rígido-unilateral, que resiste compresiones pero no resiste tracciones. Es decir, imaginamos la fábrica como un conjunto de bloques indeformables en contacto seco y directo que se sostienen por su propio peso. Supondremos también que las tensiones son bajas, y que el rozamiento entre las piedras es suficientemente alto como para impedir su deslizamiento. Estas tres hipótesis dan lugar a los Principios del Análisis Limite de las fábricas:
Se considera la estructura de fábrica formada por un material rígido-unilateral, que resiste compresiones pero no resiste tracciones. Es decir, imaginamos la fábrica como un conjunto de bloques indeformables en contacto seco y directo que se sostienen por su propio peso. Supondremos también que las tensiones son bajas, y que el rozamiento entre las piedras es suficientemente alto como para impedir su deslizamiento. Estas tres hipótesis dan lugar a los Principios del Análisis Limite de las fábricas:
(1) la fábrica presenta una resistencia
a compresión infinita
(2) la fábrica tiene una
resistencia a tracción nula
(3) el fallo por deslizamiento
es imposible
Algunos autores se dieron cuenta
de que, realmente, el empuje depende de la forma general de la bóveda y
acometieron cálculos rápidos aproximados (Ungewitter y Mohrmann 1890, Heyman
1999). Conocidos la resultante de los pesos y cargas que actúan sobre la bóveda
y su línea de acción, para una bóveda simétrica en la que el empuje debe ser
horizontal en la línea de clave, solo queda decidir la inclinación del empuje,
que queda determinado por el perfil general de la bóveda.
Nuevamente, realizamos el
cálculo de la bóveda tipo (nos remitimos al dibujo expuesto en el primer
análisis) considerando las densidades del material especificadas anteriormente.
El presente análisis trata de
conocer la estabilidad y resistencia a compresión del conjunto estructural. El
muro perimetral es continuo y tiene un espesor de 1,8 m. Se realiza por tanto primero este análisis.
En la figura siguiente se ha dibujado el esquema de las fuerzas que actúan en
el conjunto estructural. Aunque no es de esperar que haya problemas de
estabilidad, hay que tener en cuenta que el relleno tiene cierta importancia en
relación al conjunto de cargas (se trata casi de cuatro veces la carga que
supone el peso propio de las dovelas), aumentando considerablemente su peso. A
favor, se cuenta con el peso del muro de la planta superior. Finalmente, hay
que tener en cuenta que la planta superior es cubierta y, según normativa,
puede llegar a tener una sobrecarga de 2 kN/m2.
Para calcular el empuje de la
bóveda calcularemos su peso en primer lugar. Se calculará el volumen de los
distintos elementos y se multiplicará por un peso específico.
Cargas permanentes
|
Superficie (m2)
|
Densidad (KN/m3)
|
Carga (KN/m)
|
Relleno
|
3,079
|
20
|
61,58
|
Peso dovelas
|
0,80
|
20
|
16,00
|
Muro 1
|
4,32
|
20
|
86,40
|
Muro 2
|
1,08
|
20
|
21,60
|
Total CP
|
185,58
|
Cargas variables
|
Superficie (m2)
|
Densidad (KN/m3)
|
Carga (KN/m)
|
S.uso
|
1,56
|
2
|
3,12
|
Nieve
|
1,56
|
2
|
3,12
|
Total CV
|
6,24
|
||
Considerando una inclinación
conservadora del empuje de 1:3, el empuje de la bóveda valdrá H = (V/3)
= 25,86 kN/m. Para esta inclinación el empuje estará aplicado a 0,44 m. por encima de la
línea de arranques. Considerando que la mitad de la sobrecarga se va al apoyo
central, la carga Pf transmitida
a la clave de la bóveda será:
Pf = (4,00 x 3,12m/2) = 6,24 kN/m
Considerando una inclinación de
45° para la transmisión de este empuje a través de la
plementería y luego el relleno,
el empuje horizontal valdrá Hf = Pf = 6,24 kN/m
La seguridad del sistema de
contrarresto viene dada por la distancia de la resultante en la base del centro
de la junta considerada. Se trata de una seguridad geométrica y no de resistencia.
Las bases de esta teoría fueron establecidas ya por Rankine (1858). La forma de
medir la segundad de Rankine puede expresarse más sencillamente si se define el
coeficiente geométrico de seguridad como la relación entre la mitad del espesor
y la distancia del punto de aplicación de la resultante al punto medio de la
sección:
coef. geométrico de
seguridad = (d/2)/z
Con dicha teoría, un coeficiente
de 2 implica que el empuje está en el límite de la mitad central de la junta
considerada; de 3 en el tercio central y así sucesivamente. Los valores de los
coeficientes geométricos de segundad de los estribos nunca deben ser inferiores
a 3 para evitar la fractura del estribo y suelen tener valores superiores, de 4
y más (Huerta 2004).
La hipótesis más desfavorable es
la de la carga de uso actuando. El resto es peso propio. Hay dos secciones que
pueden ser críticas: la base del muro (o) y el estribo de la bóveda (e).
SECCIÓN
O. Base
La ecuación de equilibrio, tomando momentos respecto al
punto O y llamando x a la distancia a este punto de la resultante en la
sección, es:
(Pm1 • xm1) + (Pm2 • xm2) + (Hf • hf) + (H • h) - (Pf’ •
xf’) - (V • xv) = (Pm1 + Pm2 + V + Pf’) • x =
(86,40 • 0,84) + (21,60
• 0,90) + (6,24 • 1,54) + (25,86 • 2,58) - (Pf’ • 0) - (V • 0) =
(86,40 + 21,60 + 6,24 + 77,58) • x =
Operando para esos valores se
obtiene un valor de x = 0,878. Entonces z = d/2 – x = 0,022 y como d
= 1,80, el coeficiente geométrico de seguridad = 0,9/0,022 = 40,91. Este
coeficiente da una seguridad geométrica ¡descomunal!
Siguiendo con el análisis, la
reacción horizontal para contrarrestar las cargas será de 32,10 KN/m, mientras
que la reacción vertical en la base del muro, aplicada a 0,878 m. del punto O será
de 191,82 KN/m. Ello supone una tensión de compresión de:
Carga vertical/Área base =
191,82 KN/m . 1,8 m
= 106,57 KN/m2 = 1,06
Kg/cm2
SECCIÓN
E. Estribo
La ecuación de equilibrio,
tomando momentos respecto al punto E y llamando xe a la distancia a este
punto de la resultante en la sección, se realiza del mismo modo que el expuesto
anteriormente, teniendo en cuenta las variaciones sufridas en distancias (del
punto de aplicación de la fuerza al punto considerado “E”), así como las cargas
que no actúa sobre dicho punto, como es el caso del muro 1 y Pf’ (a pesar que conceptualmente,
parte de dicha carga es tansmitida al punto considerado).
Operando, obtenemos el valor Xe (eso es, la distancia a la
que se aplicará la resultante desde la sección considerada).
Operando del mismo modo que el expuesto anteriormente,
obtenemos que Xe ) 0,186. Esto es, aplicar la carga a 0,45 m. (x’) del punto O
(considerado anteriormente).
Así, la reacción horizontal para
contrarrestar las cargas será de 25,83 KN/m, mientras que la reacción vertical,
aplicada a 0,186 m.
del punto E será de 47,60 KN/m. Teniendo en cuenta la inclinación del estribo,
la fuerza de compresión perpendicular al mismo será de:
R = ΣH / cos 41 º + ΣV / cos 49º
= 63,06 + 72,55 = 135,62 KN/m
Carga vertical/Área base = 135,62
KN/m . 0.4 m
= 339 KN/m2 = 3,39 Kg/cm2
Cálculo bóveda más desfavorable
Del mismo modo que se ha realizado el cálculo anteriormente
(mediante hipótesis y simplificaciones, en base a la estática) calculamos en
este caso la tensión máxima en la bóveda que hemos encontrado con mayor luz y
menor flecha (caso más desfavorable).
Considerando las mismas cargas para las dimensiones
expuestas, sabemos que la tensión de compresión será con toda seguridad mayor
antes de realizar el cálculo pero la cuestión está en cuanto. Si tenemos en
cuenta que los valores de flecha se aproximan, son mucho más desfavorables
flechas pequeñas que flechas grandes (hasta el arco de medio punto en que la
relación luz/flecha es 1/2).
Nuevamente, calculamos los valores de las cargas, la
aplicamos como en el caso anterior, y obtenemos la fuerza resultante y su punto
de aplicación.
La ecuación de equilibrio, tomando momentos respecto al
punto O y llamando x a la distancia a este punto de la resultante en la
sección, es:
(Pm1 • xm1) + (Pm2 • xm2) + (Hf • hf) + (H • h) - (Pf’ •
xf’) - (V • xv) = (Pm1 + Pm2 + V + Pf’) • x =
(91,00 • 0,90) + (20,60 • 0,97) + (46,50 • 2,42) = (91,00 + 20,60 + 13,90 + 139,50) • x
Operando para esos valores se
obtiene un valor de x = 0,82. Siguiendo con el análisis, la reacción
horizontal para contrarrestar las cargas será de 60,40 KN/m, mientras que la
reacción vertical en la base del muro, aplicada a 0,82 m. del punto O será de 265,00
KN/m. Ello supone una tensión de compresión de:
Carga vertical/Área base = 265,00
KN/m . 1,8 m
= 147,22 KN/m2 = 1,47
Kg/cm2
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