SISTEMA ESTRUCTURAL: CÁLCULO DE BÓVEDAS

Entender el funcionamiento estructural de las bóvedas es una premisa imprescindible para entender el contexto estructural en que enmarcamos la fortaleza de Isabel II.

El cálculo y diseño de las bóvedas ha llevado, desde hace tiempo, a realizar estudios sobre las mismas, a pesar que en el siglo XIX, al convertirse el hormigón y el acero como materiales fundamentales en la construcción, desbancando el sistema tradicional de construcción en piedra, hizo que se perdiera el interés por este tipo de estructuras. Sin embargo, en la actualidad, al tomar protagonismo los edificios de carácter histórico y al aumentar los trabajos de rehabilitación, ha retomado fuerza la idea de conocer todo lo necesario para poder evaluar el estado de las estructuras analizadas.

Buena fuente de información la encontramos en la tesis Diseño estructural de arcos, bóvedas y cúpulas en España 1500-1800. Huerta Fernández. UPM. 1990, quien posteriormente, ha realizado varios estudios a cercar de la teoría de las bóvedas.

El cálculo de bóvedas se basa en conocer el estado tensional (básicamente a compresión) que se somete la estructura portante, así como la estabilidad al vuelco y el posible deslizamiento de las dóvelas. Serán estos tres puntos los fundamentales para entender su cálculo.

Ahora bien, ¿cómo realizamos el cálculo de tensiones? Existen muchos estudios sobre ello, a pesar de que sólo se realizaron hasta el s.XVIII. Mayoritariamente se trata de cálculos gráficos.

La primera teoría científica de bóvedas que se desarrolló en los siglos XVII al XIX consideraba la fábrica como un material rígido unilateral (que no resiste tracciones). Los análisis eran de equilibrio o de rotura, pero siempre la condición era que la línea de empujes, la trayectoria de las cargas, debía estar contenida con suficiente seguridad dentro del arco. No se hacían suposiciones sobre condiciones de contorno, tales como empotramiento de los apoyos…y tampoco se hacían otras afirmaciones sobre el material, además de su poca o nula resistencia a tracción. En estas condiciones, la posición de la línea de empujes quedaba indeterminada y se aplicaba, como método de garantizar la seguridad, la condición de poder encontrar una línea de empujes en equilibrio con las cargas contenida dentro del tercio central (Rankine, 1858). La indeterminación en la posición de la línea de empujes, debida al hiperestatismo de los arcos, se considera o un defecto de la teoría y, desde, cerca 1860 se planteó la posibilidad de realizar un análisis elástico de los arcos de fábrica. A finales del siglo XIX la teoría moderna, y «correcta», del arco de fábrica era la teoría elástica.

Jaime Bayo (1910) es el primero en proponer el análisis elástico de las bóvedas tabicadas. En su artículo las asimila a arcos metálicos (biarticulados), criticando el empleo de los métodos para el cálculo de arcos de dovelas. Para Bayo las bóvedas tabicadas empujan, pero este empuje es el del arco biarticulado elástico correspondiente. Se trata, pues, de hallar lo que llama el «funicular de las fuerzas elásticas», esto es, la línea de empujes que, además de estar en equilibrio con las cargas, cumple las condiciones de compatibilidad elástica de deformación. Bayo da las fórmulas con las integrales usuales. Observa que en el caso de las bóvedas rebajadas se puede calcular el empuje como si fueran de dovelas, trabajando solo a compresión, pero que si son peraltadas es preciso adaptar su fórmula a la de la línea de empujes.

En la actualidad se ha aplicado el Método de los Elementos Finitos (MEF) al análisis de estructuras de bóvedas. Gulli (1993, 1994, 1995) ha hecho ensayos sobre bóvedas de canon y ha realizado, después, un análisis elástico de MEF. El MEF, como el cálculo elástico tradicional, asimila la fábrica a un continuo al que atribuye ciertas propiedades elásticas y tiene que prefijar unas condiciones rígidas de contorno (las condiciones en los apoyos tienen que ser establecidas). Estas afirmaciones de compatibilidad y sobre el material, junto con las de equilibrio estático, forman un sistema de ecuaciones que da una solución única. Este enfoque presenta varios problemas. En primer lugar, la resolución del sistema es muy sensible a pequeñas variaciones en las condiciones de contorno. Un pequeño descenso o giro, por ejemplo, en uno de los apoyos, aunque imperceptible a la vista, conducirá a una variación notable del sistema de esfuerzos internos. En segundo lugar, la fábrica dista mucho de ser un continuo y esta, frecuentemente, agrietada. El empleo de programas de MEF que permiten un análisis no-lineal, por supuesto mejora el mode1o, pero este sigue siendo muy sensible a las variaciones en las condiciones de contorno, a la historia de carga de la estructura…

Conociendo la evolución del cálculo de bóvedas, exponemos algunos de los que nos han parecido más interesantes y que mayor uso han tenido durante los pasados años hasta la actualidad.

A)MÉTODO DE GUSTAVINO. Formulación clásica:

Gustavino expone la siguiente formulación para un arco o bóveda escarzano:

σr = P.l/ 8.f.A

A: área por unidad de longitud transversal a la bóveda en la clave

Q: carga por m2 de superfície (peso propio, relleno, más sobrecarga) --> P: carga total (Kg)

L: luz de la bóveda

F: flecha de la bóveda

σr: tensión de rotura

Se trata de la conocida expresión del empuje de un arco parabólico sometido a una carga uniformemente repartida, aunque la «demostración» de Guastavino es difícil de comprender. La fórmula es, por supuesto, aproximada (la carga real no es exactamente uniforme), pero para bóvedas rebajadas es suficientemente buena. Guastavino considera que la tensión de trabajo admisible es 1/10 de la tensión de rotura. Considerar 10 como coeficiente de seguridad es, quizá, excesivo incluso para un material irregular como la fábrica. Guastavino reconoce que se podría considerar como tensión de trabajo 1/4 o 1/5 de la tensión de rotura. El esfuerzo será mayor en los arranques y para hallar el nuevo espesor aplica la que denomina «fórmula de Dejardin »; el espesor varía a partir de la clave en función del inverso del coseno del ángulo que fija la posición del punto." El cálculo de Guastavino es, evidentemente, un cálculo de equilibrio par el que obtiene un valor del empuje, para luego hacer comprobaciones de resistencia y para calcular el sistema de contrarresto, mediante estribos de fábrica.

B)COMPROBACIÓN MEDIANTE TABLAS

Otros estudios han contribuido al análisis del cálculo de arcos y bóvedas. En todos los casos, se ha relacionado la luz con las cargas incluyendo otras variables que son de especial importancia para la estabilidad de las bóvedas: la flecha y el espesor de las dovelas.
La tabla anterior expone que las bóvedas más cargadas (hasta cierto límite, aunque sea simplemente por su propio peso) aguantan más que las bóvedas menos cargadas debido al sistema de transmisión de cargas entre dovelas y la línea real del arco, es decir, los puntos por los cuales se transmiten las cargas hasta los arranques.

C)CÁLCULO INFORMÁTICO. MODELIZACIÓN DE BARRAS

Para modelizar la estructura mediante el cálculo informático, se asimila a cada dovela a una barra articulada, con el fin de que no se presenten momentos en las dovelas, trabajado sólo a compresión (hipótesis no del todo cierta pero aceptable desde el punto de vista conceptual y de análisis de cálculo). A cada dovela (barra) le damos la geometría pertinente y los parámetros geométricos estimados para la piedra utilizada en cuestión. Para el cálculo de las cargas, se desglosan los elementos que conponen el relleno (especificado anteriormente en el esquema que se presenta la bóveda tipo) aplicando las cargas correspondientes sobre cada dovela (barra) incluyendo el peso propio de las dovelas. Además, deben incluirse las sobrecargas necesarias en cada caso, según el uso que le corresponda. Sabemos que este cálculo no es del todo cierto, ya que las condiciones de contorno, la historia de cargas de la estructura y la composición no extrictamente uniforme (en caso de bóvedas de cantería) modifican ligeramente los resultados. A pesar de ello, la aproximación a los estados tensionales reales son bastante próximos a la realidad.

D)CÁLCULO. ANÁLISIS LÍMITE DE FÁBRICAS

Al realizar los estudios se ha aplicado la teoría del Análisis Limite de Estructuras de fábrica, tal y como la ha desarrollado fundamentalmente Heyman en los últimos años. En este apartado se resumirán los principios e ideas fundamentales. Se considera la estructura de fábrica formada por un material rígido-unilateral, que resiste compresiones pero no resiste tracciones. Es decir, imaginamos la fábrica como un conjunto de bloques indeformables en contacto seco y directo que se sostienen por su propio peso. Supondremos también que las tensiones son bajas, y que el rozamiento entre las piedras es suficientemente alto como para impedir su deslizamiento. Estas tres hipótesis dan lugar a los Principios del Análisis Limite de las fábricas:

(1) la fábrica presenta una resistencia a compresión infinita

(2) la fábrica tiene una resistencia a tracción nula

(3) el fallo por deslizamiento es imposible

Algunos autores se dieron cuenta de que, realmente, el empuje depende de la forma general de la bóveda y acometieron cálculos rápidos aproximados (Ungewitter y Mohrmann 1890, Heyman 1999). Conocidos la resultante de los pesos y cargas que actúan sobre la bóveda y su línea de acción, para una bóveda simétrica en la que el empuje debe ser horizontal en la línea de clave, solo queda decidir la inclinación del empuje, que queda determinado por el perfil general de la bóveda.

Para realizar el análisis, hay que tener en cuenta que el relleno tiene cierta importancia en relación al conjunto de cargas. Debemos considerar, además, el peso de los muros y las sobrecargas aplicables en cada caso.

Para calcular el empuje de la bóveda calcularemos su peso en primer lugar. Se calculará el volumen de los distintos elementos y se multiplicará por un peso específico.

Considerando una inclinación conservadora del empuje de 1:3, el empuje de la bóveda valdrá H = (V/3) . Para esta inclinación el empuje estará aplicado a cierta distancia por encima de la línea de arranques. Considerando que la mitad de la sobrecarga se va al apoyo central, la carga Pf transmitida a la clave de la bóveda se calcula distribuyendo la mitad de la carga hascia cada uno de los muros sustentantes.

Considerando una inclinación de 45° para la transmisión de este empuje a través de la plementería y luego el relleno, el empuje horizontal valdrá Hf (= Pf ).

La seguridad del sistema de contrarresto viene dada por la distancia de la resultante en la base del centro de la junta considerada. Se trata de una seguridad geométrica y no de resistencia. Las bases de esta teoría fueron establecidas ya por Rankine (1858). La forma de medir la segundad de Rankine puede expresarse más sencillamente si se define el coeficiente geométrico de seguridad como la relación entre la mitad del espesor y la distancia del punto de aplicación de la resultante al punto medio de la sección:

coef. geométrico de seguridad = (d/2)/z

Con dicha teoría, un coeficiente de 2 implica que el empuje está en el límite de la mitad central de la junta considerada; de 3 en el tercio central y así sucesivamente. Los valores de los coeficientes geométricos de segundad de los estribos nunca deben ser inferiores a 3 para evitar la fractura del estribo y suelen tener valores superiores, de 4 y más (Huerta 2004).

La hipótesis más desfavorable es la de la carga de uso actuando. El resto es peso propio. Hay dos secciones que pueden ser críticas: la base del muro (o) y el estribo de la bóveda (e).

A continuación, realizamos el cálculo de la carga que recibe cada uno de las secciones críticas consideradas. A priori, son las que hemos expuesto anteriormente, pero dependiendo de la tipología de la bóveda y de todos los elementos adyacentes a ella, estos pueden variar.

La ecuación de equilibrio, tomando momentos respecto al punto O y llamando x a la distancia a este punto de la resultante en la sección, se realiza aplicando fuerzas por distancias, obteniendo así, la distancia x entre el punto de aplicación de las cargas y la sección considerada. Así, obtenemos los axiles y momentos, por lo que pueden realizarse con facilidad el cálculo de estabilidad y la tensión de compresión que actúa en la sección considerada.